Nos estudos iniciais de cinemática, vemos como se comportam objetos que se movem em linha reta com velocidade constante (MRU) ou de forma acelerada (MUV). Entretanto, ao analisar o comportamento de objetos que executam uma trajetória oblíqua, percebemos que num primeiro momento não podemos analisar tal movimento somente com base no MRU ou MUV individualmente. Assim, o que acontece quando atiramos um objeto de forma oblíqua (diagonal)? Que equações auxiliam no estudo de seu movimento? Qual altura máxima que o projétil pode chegar? São estas e outras questões que este tópico irá abordar.
A figura a seguir ilustra um típico lançamento balístico (ou oblíquo):
Figura 1
A principal particularidade deste tipo de movimento está no fato do objeto se mover, ao mesmo tempo, na horizontal e na vertical. Repare que na Figura 1, a catapulta se movimenta tanto para frente quanto para cima e depois para baixo. Isto significa que para estudar com precisão as características do lançamento balístico, precisamos necessariamente analisar o movimento horizontal separado do movimento vertical.Este é o princípio da independência dos movimentos que, a rigor, diz que:
“No movimento balístico, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro.”
Entretanto, vale uma ressalva: em todo lançamento oblíquo o objeto é lançado com um certo ângulo de inclinação (no caso da figura 1 é ), isto significa que a velocidade inicial do corpo pode ser fornecida em módulo, e portanto para encontrar as componentes x e y da velocidade será preciso decompor a velocidade em Vx e Vy.
Movimento Horizontal
Analisando o movimento na horizontal (eixo x), ao lançar o objeto, este começa a se mover com uma velocidade inicial , ao longo de todo o eixo x, pois não há nenhuma força atuante na catapulta para aumentar ou reduzir sua velocidade (a resistência do ar é desprezada), então, o objeto só irá parar de se mover quando atingir o chão (o que será determinado com base em análises feitas no eixo y). Resumindo, no eixo x, o objeto sempre irá se mover com velocidade constante e em linha reta, então podemos considerar que na trajetória horizontal é executado o movimento retilíneo uniforme (MRU).
Sendo assim, as equações que irão auxiliar no estudo do lançamento balístico ao longo do eixo x são correspondentes ao movimento retilíneo uniforme. São elas:
Na prática, as equações (1) e (2) são idênticas (uma é um rearranjo da outra), mas convencionou-se utilizá-las em formas diferentes dependendo do resultado que se busca encontrar. Vamos a um exemplo:
Exemplo 1
Um jogador de golfe realiza uma tacada em uma bolinha de modo que esta passou a executar um movimento oblíquo. Sabendo que o ângulo de lançamento é 60º, a velocidade inicial da bolinha é 30 m/s e que ela demorou 5,3 segundos até atingir o chão, determine a distância percorrida pela bolinha de golfe.
A distância percorrida pela bolinha será necessariamente o deslocamento total ao longo do eixo x, então, como já sabemos por quanto tempo a bolinha se moveu antes de parar, basta encontrar a componente x da velocidade de lançamento. A imagem a seguir ilustra o vetor velocidade da bola de golfe:
Figura 2
A partir da imagem, a velocidade Vx será:
Vx = V0 . cos Θ
Vx = 30 . cos (60º) = 15 m/s
Assim, aplicando a equação (1) temos que:
S = 0 + 15 . 5,3 = 79,5 m
Logo, a bolinha percorreu 79,5 metros antes de atingir o solo.
Alcance Horizontal
Quando em um lançamento oblíquo a altura de lançamento é igual a altura final, é possível calcular o alcance horizontal através da fórmula:
Onde:
R é o alcance horizontal (em metros);
g é a aceleração da gravidade;
V0 é o módulo da velocidade de lançamento;
Θ é o ângulo de lançamento.
Vale ressaltar que esta equação é valida somente quando a altura de lançamento é igual a altura final.
No caso do Exemplo 1, podemos aplicar a equação (3) e chegar em:
Que é o mesmo valor encontrado anteriormente.
OBS: repare que a partir da equação (3), o maior valor possível de R ocorre quando sen (2Θ) = 1 (qualquer valor menos do que 1 diminui o valor de R), isto significa que em qualquer lançamento, o alcance horizontal R é máximo quando Θ = 45º, pois sen (2 . 45º) = sen (90º) = 1.
Movimento Vertical
O movimento vertical, por sua vez, pode ser considerado queda livre ou MUV. A figura a seguir ilustra o lançamento balístico com um pouco mais de detalhes:
Figura 3
Repare que ao analisar o movimento vertical, devemos levar em conta a altura da qual o objeto foi lançado e a componente da velocidade inicial utilizada agora é a . Além disso, o projétil executa 2 movimentos: o primeiro de subida até atingir a altura máxima (quando sua velocidade é 0) e após este instante começará a cair até atingir o chão novamente.
Por se tratar de um MUV, as equações que compreendem a trajetória vertical do objeto serão:
Onde:
y é a altura do objeto;
h é a altura inicial da qual o objeto foi lançado;
Vy é a componente y da velocidade inicial do projétil;
g é a aceleração da gravidade;
t é o tempo.
Onde:
v’y é a velocidade do projétil em um determinado momento da subida;
vy é a componente y da velocidade inicial do projétil.
O sinal negativo se deve pelo fato da aceleração da gravidade se opor ao movimento de subida. Entretanto, ao atingir a altura máxima, o projétil começará a cair logo em seguida, em direção ao chão, isto significa que desta vez a aceleração da gravidade será a favor da trajetória, assim o sinal da aceleração gravitacional das equações (4), (5) e (6) passará a ser positivo.
OBS: Na análise do movimento vertical, quando a altura de lançamento é igual a altura final, é importante saber que o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima, é igual ao tempo que este leva para ir da altura máximo até o chão.
Exemplo 2)
Um barco atira um projétil com um canhão com o objetivo de atingir outro barco, a 35 metros de distância e a mesma altura. A velocidade e o ângulo de lançamento são, respectivamente, 20 m/s e 30º. Com base nestas informações calcule a altura máxima do projétil e o módulo da velocidade com que atingiu o barco.
O projétil atingiu altura máxima quando sua velocidade vertical era igual a zero. Assim, basta encontrar a componente y da velocidade de lançamento e utilizar estas informações na equação (6):
A componente y da velocidade de lançamento será:
Assim, com base na equação (6):
Portanto, a altura máxima que o projétil atingiu foi 5,1 metros.
Para calcular o módulo da velocidade final do projétil vamos primeiro encontrar as componentes x e y desta velocidade.
A componente x da velocidade final será igual à componente x da velocidade de lançamento, pois no movimento horizontal, é executado MRU:
Podemos calcular a componente y da velocidade final do projétil tomando como base a altura máxima atingida pelo projétil (5,1 m) e o tempo que este demorou para atingir o chão. Utilizando a equação (5) encontramos o tempo de subida:
Isto significa que o projétil demorou 1,02 segundo para atingir a altura máxima e os mesmos 1,02 segundos para atingir o solo novamente. Sabendo então que o projétil demorou 1,02 para descer 5,1 m temos que:
Repare que para o eixo y, a velocidade de lançamento foi igual a velocidade final, pois a altura do lançamento era a mesma.
Assim, o modulo será:
Novamente, a velocidade final coincidiu com a velocidade de lançamento. Isto se deve porque a intensidade da velocidade horizontal não se altera, então v’x = vx e, devido a altura de lançamento ser igual a altura final, a velocidade vertical também se conservou, logo v’y = vy o que implica nos módulos das velocidades serem idênticos.
Lucas Cardoso Toniol
